Two’s Complement Representation
Two’s Complement Representation
Two’s Complement Representation হলো Signed Integer প্রকাশ করার আধুনিক এবং সবচেয়ে জনপ্রিয় পদ্ধতি।
আধুনিক কম্পিউটার সাধারণত Negative Number প্রকাশের জন্য 2’s Complement ব্যবহার করে।
Two’s Complement কী?
কোনো Binary সংখ্যার:
- প্রথমে 1’s Complement নিতে হয়
- তারপর ফলাফলের সাথে \(1\) যোগ করতে হয়
এই ফলাফলকে বলা হয়:
\[ \text{2’s Complement} \]
2’s Complement বের করার নিয়ম
Step 1
সব \(0\) কে \(1\) এবং সব \(1\) কে \(0\) করতে হবে।
অর্থাৎ 1’s Complement নিতে হবে।
Step 2
প্রাপ্ত সংখ্যার সাথে:
\[ 1 \]
যোগ করতে হবে।
উদাহরণ: \(0110_2\) এর 2’s Complement
Original Number:
\[ 0110_2 \]
1’s Complement
\[ 1001_2 \]
Add 1
\[ 1001_2 + 1_2 \]
\[ 1010_2 \]
Final Answer
\[ 0110_2 \text{ এর 2’s Complement } = 1010_2 \]
Positive এবং Negative Number Representation
| সংখ্যা | Representation |
|---|---|
| Positive Number | True Binary Form |
| Negative Number | 2’s Complement Form |
উদাহরণ: \(+6\) এবং \(-6\)
\(+6\) এর Binary:
\[ 0110_2 \]
এখন এর 2’s Complement:
\[ 1010_2 \]
তাই:
\[ -6 = 1010_2 \]
Word Size এবং Range
যদি একটি Computer-এর word size \(N\) bits হয়, তাহলে 2’s Complement Representation-এ:
\[ 2^N \]
টি ভিন্ন সংখ্যা প্রকাশ করা সম্ভব।
4-bit Representation
\[ 2^4 = 16 \]
টি সংখ্যা প্রকাশ করা যায়।
Example 1.22
Express:
\[ -4 \]
in 2’s Complement Form.
Step 1: Positive Binary বের করি
\[ +4 = 00000100_2 \]
Step 2: 1’s Complement
\[ 11111011_2 \]
Step 3: Add 1
\[ 11111011_2 + 1_2 \]
\[ 11111100_2 \]
Final Answer
\[ -4 = 11111100_2 \]
Example 1.23
Express:
\[ -17 \]
in 2’s Complement Form.
Step 1: Positive Binary
\[ +17 = 00010001_2 \]
Step 2: 1’s Complement
\[ 11101110_2 \]
Step 3: Add 1
\[ 11101110_2 + 1_2 \]
\[ 11101111_2 \]
Final Answer
\[ -17 = 11101111_2 \]
Shortcut Method for 2’s Complement
2’s Complement বের করার আরেকটি সহজ পদ্ধতি রয়েছে।
নিয়ম
- ডানদিক থেকে প্রথম \(1\) পর্যন্ত সব Copy করতে হবে
- বাকি Bit-গুলো Complement করতে হবে
Example 1.24
Express:
\[ -4 \]
using shortcut method.
Original Number
\[ 00000100_2 \]
Copy up to first 1
\[ 100 \]
Complement remaining bits
\[ 11111100_2 \]
Final Answer
\[ -4 = 11111100_2 \]
Example 1.25
Express:
\[ -17 \]
using shortcut method.
Original Number
\[ 00010001_2 \]
Copy up to first 1
\[ 1 \]
Complement remaining bits
\[ 11101111_2 \]
Final Answer
\[ -17 = 11101111_2 \]
4-bit Two’s Complement Table
| Binary | Decimal |
|---|---|
| \(0111\) | \(+7\) |
| \(0110\) | \(+6\) |
| \(0101\) | \(+5\) |
| \(0100\) | \(+4\) |
| \(0011\) | \(+3\) |
| \(0010\) | \(+2\) |
| \(0001\) | \(+1\) |
| \(0000\) | \(0\) |
| \(1111\) | \(-1\) |
| \(1110\) | \(-2\) |
| \(1101\) | \(-3\) |
| \(1100\) | \(-4\) |
| \(1011\) | \(-5\) |
| \(1010\) | \(-6\) |
| \(1001\) | \(-7\) |
| \(1000\) | \(-8\) |
2’s Complement-এর বৈশিষ্ট্য
- এখানে শুধুমাত্র একটি Zero Representation রয়েছে
- Addition এবং Subtraction সহজে করা যায়
- Hardware Implementation সহজ
- Modern Computer Architecture-এ সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত
2’s Complement-এর সুবিধা
1. Unique Zero
এখানে শুধুমাত্র:
\[ 00000000_2 \]
দ্বারা Zero প্রকাশ করা হয়।
2. Arithmetic সহজ
Positive এবং Negative সংখ্যাকে একইভাবে Process করা যায়।
3. Hardware Efficient
Computer hardware-এর জন্য এটি সবচেয়ে উপযোগী Representation।
2’s Complement-এর Range
যদি \(N\)-bit Representation হয়, তাহলে:
\[ -2^{N-1} \text{ to } 2^{N-1}-1 \]
পর্যন্ত সংখ্যা প্রকাশ করা যায়।
8-bit Range
\[ -128 \text{ to } +127 \]
Computer-এ কেন 2’s Complement ব্যবহৃত হয়?
আধুনিক Computer-এ Signed Integer প্রকাশের জন্য 2’s Complement ব্যবহার করা হয় কারণ:
- শুধুমাত্র একটি Zero থাকে
- Arithmetic operation সহজ
- Hardware circuitry সহজ হয়
- Overflow handling সহজ
মূল বিষয়সমূহ (Key Points)
- 2’s Complement = 1’s Complement + 1
- Positive সংখ্যা True Binary Form-এ থাকে
- Negative সংখ্যা 2’s Complement Form-এ থাকে
- Modern Computer Signed Integer-এর জন্য এটি ব্যবহার করে
- শুধুমাত্র একটি Zero Representation রয়েছে
উপসংহার
Two’s Complement Representation হলো Signed Integer প্রকাশের সবচেয়ে কার্যকর এবং আধুনিক পদ্ধতি।
এটি Arithmetic Operation সহজ করে এবং Hardware Complexity কমায়।
তাই আধুনিক Computer System-এ Signed Integer Representation-এর জন্য প্রধানত 2’s Complement ব্যবহার করা হয়।